Olimpiada Matematyczna – zadania

Olimpiada Matematyczna - charakter i typ zadań

Jakiego typu zadania matematyczne przygotowywane są dla uczestników Ogólnopolskiej Olimpiady Matematycznej? Jeśli chodzi o tematykę, oczywiście obejmuje ona działy takie jak algebra, geometria, teoria liczb itd., a więc w zasadzie nie wykracza poza program szkolny. Jednak podstawowa różnica między zadaniami szkolnymi a olimpijskimi jest łatwo dostrzegalna. Otóż rozwiązanie zadania z Olimpiady Matematycznej wymaga od jej uczestnika dużej pomysłowości i twórczego podejścia, gdyż organizatorom chodzi o sprawdzenie jego sposobu myślenia, a nie umiejętności odtwórczego stosowania pewnych wyuczonych szablonów. Zadania olimpijskie są więc w pewien sposób nietypowe (w odniesieniu do zadań szkolnych), a uczniowie raczej nie spotykają się z takimi zadaniami na co dzień. Ich charakter jest twórczy – aby je rozwiązać, trzeba wymyślić czy też odkryć działającą w danym przypadku metodę rozwiązania, ewentualnie jakiś jej element.

Co za tym idzie, skoro zadania są nietypowe i nie można tu zastosować gotowych schematów myślenia, są też niełatwe. Inna sprawa, że niezaprzeczalny jest też ogólny wzrost poziomu trudności zadań na Olimpiadzie Matematycznej w czasie, a więc zadania, które były do rozwiązania np. na XX Olimpiadzie nie były aż tak trudne, jak te, z którymi musieli się zmierzyć uczestnicy np. LX Olimpiady. Co więcej, zmienia się też charakter zadań, co można zobaczyć porównując zadania z kolejnych Olimpiad (zamieszczane są one w specjalnych zbiorach).

Natomiast niezmienne jest to, że zawsze zadanie sformułowane jest jako problem, a uczestnik Olimpiady musi po pierwsze odkryć poprawną odpowiedź, a po drugie wykazać dowód prawidłowości tej odpowiedzi. Dowód powinien być kompletny, gdyż każda luka w wykazanym rozumowaniu czy jakiś jego nieoczywisty punkt obniża wartość odpowiedzi i wpływa niekorzystnie na ocenę. Czasem zadanie ogranicza się do przedstawienia dowodu określonego twierdzenia.

Zadania - przykłady

Ogólnopolska Olimpiada Matematyczna składa się z 3 etapów i jak można się domyślić, zadania na każdym kolejnym etapie są coraz trudniejsze. Aby dać ogólne pojęcie na temat tego, jakiego typu zadanie może znaleźć się w „repertuarze” konkursowym, poniżej zamieszczamy przykładowe zadania z różnych etapów wybranych Olimpiad Matematycznych.

Etap 1. – LXVIII Olimpiada Matematyczna (2016/2017)

W skrzyni znajduje się 2017 kul. Na każdej kuli napisana jest dokładnie jedna liczba całkowita. Losujemy ze zwracaniem dwie kule ze skrzyni i dodajemy napisane na nich liczby. Udowodnić, że prawdopodobieństwo otrzymania parzystej sumy jest większe niż 12.

Etap 2. – LVIII Olimpiada Matematyczna (2007/2008)

Dany jest pięciokąt wypukły ABCDE, w którym BC = CD, DE = EA, ∢ BCD = ∢ DEA = 90°. Udowodnić, że z odcinków o długościach AC, CE, EB można zbudować trójkąt. Wyznaczyć miary jego kątów, znając miarę α kąta ACE i miarę β kąta BEC.

Etap 3. – LXX Olimpiada Matematyczna (2018/2019)

Na przyjęciu spotkało się n>3 gości, wśród których niektórzy się znają. Okazało się, że na przyjęciu nie istnieje taka czwórka różnych gości a, b, c, d, że w parach {a,b}, {b,c}, {c,d}, {d,a} goście się znają, ale w parach {a,c}, {b,d} goście się nie znają. Maksymalną kliką na przyjęciu nazwiemy taki niepusty zbiór gości X (być może jednoelementowy), że goście z X się parami znają, ale nie istnieje gość spoza X znający wszystkich gości z X. Dowieść, że na przyjęciu jest co najwyżej n (n−1) 2 różnych maksymalnych klik. Uwaga: Jeśli gość a zna gościa b, to gość b zna gościa a.

Wszystkie zadania i ich rozwiązania można znaleźć na internetowej stronie Olimpiady Matematycznej.